Algèbre linéaire Exemples

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $0$ par $3$ .

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Étape 2.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$r = \sqrt{9 + 0}$

Étape 2.9

Additionnez $9$ et $0$ .

$r = \sqrt{9}$

Étape 2.10

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$r = \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = 3$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Étape 4

Simplifiez $\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Étape 4.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{0}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Étape 4.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$θ̂ = \arctan (0)$

Étape 4.6

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$θ̂ = 0$

Étape 5

Déterminez le quadrant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.3

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Étape 5.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Étape 5.6

Multipliez $0$ par $3$ .

$(- 3, 0)$

Étape 5.7

Comme la coordonnée x est négative et la coordonnée y est $0$ , le point se situe sur l’abscisse entre le deuxième et le troisième quadrant. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Entre le quadrant $2$ et $3$

Étape 6

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 7

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez ${(3)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 7.2

Associez $c$ et $\frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Étape 7.3

Associez $i$ et $\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Étape 7.4

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Étape 7.5

Supprimez les parenthèses.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Étape 7.5.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Étape 7.5.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

Étape 7.5.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Étape 7.5.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 7.5.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 7.5.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 8

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Étape 8.2

Multipliez $2 π (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

Étape 8.2.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

Étape 9

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

Étape 10

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$