Algèbre linéaire Exemples

3 (\cos (π) + i \sin (π))

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Étape 1

Calculez la distance de

(a, b)

$(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.2

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez

3

$3$ par

- 1

$- 1$ .

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez

- 3

$- 3$ à la puissance

2

$2$ .

r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.6

La valeur exacte de

\sin (0)

$\sin (0)$ est

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez

0

$0$ par

3

$3$ .

r = \sqrt{9 + 0^{2}}

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Étape 2.8

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + 0}

$r = \sqrt{9 + 0}$

Étape 2.9

Additionnez

9

$9$ et

0

$0$ .

r = \sqrt{9}

$r = \sqrt{9}$

Étape 2.10

Réécrivez

9

$9$ comme

3^{2}

$3^{2}$ .

r = \sqrt{3^{2}}

$r = \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

r = 3

$r = 3$

r = 3

$r = 3$

Étape 3

Calculez l’angle de référence

θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Étape 4

Simplifiez

\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)

$\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de

\sin (0)

$\sin (0)$ est

0

$0$ .

θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Étape 4.3.2

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Étape 4.3.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Déplacez le moins un du dénominateur de

\frac{0}{- 1}

$\frac{0}{- 1}$ .

θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Étape 4.4.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

0

$0$ .

θ̂ = \arctan (| 0 |)

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

θ̂ = \arctan (| 0 |)

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Étape 4.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

0

$0$ est

0

$0$ .

θ̂ = \arctan (0)

$θ̂ = \arctan (0)$

Étape 4.6

La valeur exacte de

\arctan (0)

$\arctan (0)$ est

0

$0$ .

θ̂ = 0

$θ̂ = 0$

θ̂ = 0

$θ̂ = 0$

Étape 5

Déterminez le quadrant.

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Étape 5.1

(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.2

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.3

Multipliez

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.3.2

Multipliez

3

$3$ par

- 1

$- 1$ .

(- 3, \sin (π) \cdot 3)

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

(- 3, \sin (π) \cdot 3)

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

(- 3, \sin (0) \cdot 3)

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Étape 5.5

La valeur exacte de

\sin (0)

$\sin (0)$ est

0

$0$ .

(- 3, 0 \cdot 3)

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Étape 5.6

Multipliez

0

$0$ par

3

$3$ .

(- 3, 0)

$(- 3, 0)$

Étape 5.7

Comme la coordonnée x est négative et la coordonnée y est

0

$0$ , le point se situe sur l’abscisse entre le deuxième et le troisième quadrant. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Entre le quadrant

2

$2$ et

3

$3$

Entre le quadrant

2

$2$ et

3

$3$

Étape 6

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 7

Remplacez

r

$r$ ,

n

$n$ et

θ

$θ$ dans la formule.

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Étape 7.1

Associez

{(3)}^{\frac{1}{2}}

${(3)}^{\frac{1}{2}}$ et

\frac{θ + 2 π k}{2}

$\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 7.2

Associez

c

$c$ et

\frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Étape 7.3

Associez

i

$i$ et

\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Étape 7.4

Associez

s

$s$ et

\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Étape 7.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 7.5.1

Supprimez les parenthèses.

\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Étape 7.5.2

Supprimez les parenthèses.

\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Étape 7.5.3

Supprimez les parenthèses.

\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

Étape 7.5.4

Supprimez les parenthèses.

\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Étape 7.5.5

Supprimez les parenthèses.

\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 7.5.6

Supprimez les parenthèses.

\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 7.5.7

Supprimez les parenthèses.

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 8

Remplacez

k = 0

$k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 8.1

Supprimez les parenthèses.

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Étape 8.2

Multipliez

2 π (0)

$2 π (0)$ .

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Étape 8.2.1

Multipliez

0

$0$ par

2

$2$ .

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0 π}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

Étape 8.2.2

Multipliez

0

$0$ par

π

$π$ .

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

Étape 9

Remplacez

k = 1

$k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Étape 9.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

Étape 10

Indiquez les solutions.

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$